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3 点、直线、平面的投影
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3.1 点的投影
     
   

　
　 研究图示三棱锥可知：点、直线、平面是构成形体的基本几何元素。


 

　
 

　　如下图所示：将 A 点置于三投影面体系中，自 A 点分别向三个投影面作垂线，交得三个垂足即：a、a ′ 、a ″ 分别为 A 点的 H 、 V 及 W 面投影。

  

　　规定：空间点用大写字母Α， B ， C ……标记；
　　H 面上的投影用同名小写字母 a ， b ， c ……等标记；
　　V 面上的投影用同名小写字母加一撇 a′ ， b′ ， c′ ……等标记；
　　W 面上的投影用同名小写字母加二撇 a″ ， b″ ， c″ ……等标记。
　　取出空间点 A 的投影，展开投影面，去掉投影面的边框线，便得到如图所示的点的三面投影图。
　　在图中用细实线将点的两面投影连接起来，如 a a′ ， a′a″ 称为投影连线， a 与 a″ 不能直接相连，需借助于 45 ° 斜线来实现这个联系。

　　由图可得出 A 点的直角坐标 X A 、 Y A 、 Z A 与点的三面投影 a 、 a′ 、 a″ 之间的关系如下：
　　 A a″=aa y = a′a z =a x 0=X A —— A 点到 W 面的距离；
　　 A a′=aa x = a″a z =a y 0=Y A —— A 点到 V 面的距离；
　　 A a = a′a x = a″a y =a z 0=Z A —— A 点到 H 面的距离。

　　规定：空间点用大写字母Α， B ， C ……标记；
　　 H 面上的投影用同名小写字母 a ， b ， c ……等标记；
　　 V 面上的投影用同名小写字母加一撇 a′ ， b′ ， c′ ……等标记；
　　 W 面上的投影用同名小写字母加二撇 a″ ， b″ ， c″ ……等标记。
　　 取出空间点 A 的投影，展开投影面，去掉投影面的边框线，便得到如图所示的点的三面投影图。
　　 在图中用细实线将点的两面投影连接起来，如 a a′ ， a′a″ 称为投影连线， a 与 a″ 不能直接相连，需借助于 45 ° 斜线来实现这个联系。

　　[ 例1 ] 已知 A 点的坐标值 A(12 ， 10 ， 15) ，求作 A 点的三面投影图。
　　 作图：先在三个轴上量取相应的坐标值，得 a X 、 a YH 、 a YW 、 a Z 等点，然后过这些点作所在轴的垂线，其交点便是 a 、 a′ 和 a″ ，如下图所示。




　　[ 例 2 ] 已知点的两面投影，求作第三面投影
　　 作图：如下图所示，过已知两面投影分别作相应轴的垂线，两垂线的交点即为所求。
　　　　　　 (a) 知 a 、 a ' 求 a "　　 　　　　　(b) 已知 a" 、 a ' 求 a 　　　　　　　(c) 已知 a 、 a " 求 a'


 
　
 

　　点的位置有：
　　在空间、在投影面上、在投影轴上和在原点上四种情况。
　　各种位置点的投影特征如下表所示。

 

 
 
 

　　 两个点的相对位置，由其坐标值决定，判断时以投影面作为基准。
　　 距 V 面远者在前，近者在后；
　　 距 W 面远者在左，近者在右；
　　 距 H 面远者在上，近者在下。
　　 如图所示，已知 A ， B 两点的三面投影，它们的相对位置确定如下：
　　 从 V 、 W 面投影可看出， A 点比 B 点距 H 面远，故 A 点在 B 点之上；
　　 从 V 、 H 面投影可看出， B 点比 A 点距 W 面远，故 B 点在 A 点之左；
　　 从 H 、 W 面投影可看出， B 点比 A 点距 V 面远，故 B 点在 A 点之前。
　　 结论： A 点在 B 点的右后上方； B 点在 A 点的左前下方。

 


　　当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时 ( 即有两对同名坐标值对应相等 ) ，该两点处于同一投射线上，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点 。
　　 如图所示：因 A 、 B 两点到 V 面和 W 面的距离都对相等，所以 A 、 B 两点处于同一 H 面的投射线上，它们在 H 面上的投影重合在一起， A 、 B 两点称为对 H 面的重影点。


　　重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来。