|
|
>
|
> |
3 点、直线、平面的投影 |
> |
3.2直线的投影 |
从几何原理可知，两点决定一条直线。
从投影原理可知，直线的投影一般仍是直线。
因此，分别作出直线上两点 ( 通常是线段的两个端点 ) 的三面投影之后，用直线连接其同面投影，如图所示， ab 、 a′b′ 、 a″ b″ 即为直线的三面投影。
1 一般位置直线
与三个投影面都成倾斜状态的直线，称为 一般位置直线 。
该直线与其投影之间的夹角为直线对该投影面的倾角。
直线对 H 、 V 、 W 面的倾角分别用 a、β、γ 表示。
一般位置直线的三面投影具有下述的投影特征：
一般位置直线的三个投影都是直线，不反映实长，且均与投影轴倾斜，其与投影轴的夹角不反映该线对投影面倾角的真实大小。
利用上述投影特征进行观察，在投影图上，如果直线的两个投影均与投影轴倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。如上图所示： AB直线为一条一般位置直线。
2 投影面平行线
平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线 。
投影面平行线有三种情况：
平行于 H面而与V、W面倾斜的直线称为水平线 ；
平行于 V面而与H、W面倾斜的直线称为正平线 ；
平行于 W面而与H、V面倾斜的直线称为侧平线 。
以水平线为例：由于水平线是平行于 H面的，所以线上所有点到H面的距离都相等，故有下列投影特征：
1)水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB；
2) 水平线的 V 、 W 面投影分别平行于 H 面的两根轴。即 a′b′ ∥ OX 轴， a″b″ ∥ OY W 轴；
3) 水平线的 H 面投影与 OX 轴夹角反映该直线对 V 面的倾角 β ；与 OY H 轴的夹角，反映该直线对 W 面的倾角 γ。 对正平线和侧平线作同样的分析，可得出类似的投影特征。
投影面平行线的 投影特征如下表所示。
3 投影面垂直线
垂直于一个投影面的直线，称为投影面垂直线 。
投影面垂直线有三种情况：
垂直于 H面的直线，称为铅垂线 ；
垂直于 V面的直线，称为正垂线 ；
垂直于 W面的直线，称为侧垂线 。
直线垂直于一个投影面，必然平行另外两个投影面。 以正垂线为例：由于正垂线垂直于 V 面，必然平行于 H ， W 面，故有下列投影特征：
1) 正垂线的 V面投影积聚成一点；
2) 正垂线的 H、W面投影反映实长，即： cd = c″d ″= CD ；
3) 正垂线的 H、W面投影，分别垂直于V面的两面根轴，即： cd⊥OX 轴 c″d″⊥OZ 轴。
对铅垂线和侧垂线作同样的分析，可得出类似的投影特征。
投影面垂直线的 投影特征如下表所示。
我们把投影面平行线和垂直线统称为特殊位置直线 。
对于特殊位置直线的判断 :
(1)若直线的某一面投影积聚成一个点,则此直线为该投影面的垂直线；
(2)只要有投影平行于投影轴(三面投影无积聚点),则该直线为投影面平行线,且平行于投影成倾斜的那个投影面，该倾斜的投影反映实长。
点与直线的相对位置有两种情况：点在直线上及点不在直线上。
1 点在直线上
点在直线上，则点的各面投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各面投影和空间直线分成相同的比例，这一投影特性，称为定比性 。
如图所示： M点在AB直线上，则 m′ 在 a′b′ 上， m 在 ab 上，而且  |
2 点不在直线上
点不在直线上，则点的投影至少有一个不在该直线的同面投影上。
如上图所示， N 点不在直线 AB 上，而是在 AB 的前方。
[ 例 ] 已知直线 AB 和点 K 的两面投影，试判断 K 点是否在 AB直线上。
分析：虽然 k 在 ab 上， k′ 也在 a′b′ 上，且 kk′ ⊥ OX 轴，但因 ak : kb ≠ a′k′ : k′b′ 不符合定比性，故可直接判断 K 点不在直线 AB上。也可作出 AB 和 K 的 W 面投影进行判断，结论是一致的。
空间两直线的相对位置有三种情况：两直线平行、两直线相交和两直线交叉。
如下图所示：两直线平行，其同面投影必定平行；反之，如两直线的三个同面投影都互相平行，则此二直线在空间也一定平行。
一般情况下，只要检查任意两面投影便可作出正确判断。
当两直线同时平行于某一投影面时， 要判断它们是否平行， 则须看此二直线在所平行的那个面上的投影是否平行。
如下图所示，由于 AB 和 CD 两直线同时平行于 W 面，不能只看 H 、 V 两投影进行判断，而必须根据 W 面投影进行判断。由于 a′b′ 与 c′d′ 不平行，所以 AB 与 CD 两直线不平行。
[ 例 ] 已知平行四边形 ABCD 的两边 AB 和 AC 的投影，试完成 ABCD 的投影。
分析：由于平行四边形的对边相互平行，即 AB∥CD,AC∥BD 运用平行二直线的投影特性即可完成作图。
2 两直线相交
两直线相交，只能交于一点，该点为两直线所共有。
当两直线相交时，其同面投影一定相交，交点的投影连线垂直于投影轴。
如图所示：直线 AB 与 CD 相交于 k 点，则在投影图中 a′b′ 与 c′d′ ， ab 和 cd 也一定相交，而且它们的交点 k ′ 与 k 的连线必垂直 OX 轴。
一般情况下，只需检查任意两面投影就可作出正确的判断。
当两直线中有一直线平行于某投影面时，要判断它们是否相交，则要对直线所平行的投影面加以检查，才能作出正确的判断。
如图所示： 由于直线 AB 是侧平线，故不能只看 H 、 V 面投影，必须作出 AB 和 CD 直线在 W 面上的投影进行检查。虽然它们的 W 面投影也相交，但其交点的连线与投影轴不垂直，故 AB 与 CD 两直线不相交。
如果运用点在直线上的定比性来进行判断，则可不作出 W面投影：
由于 a′k′ : k′b′ ≠ ak : kb ，故 K 点不是 AB 直线上的点，所以直线 AB 与直线 CD 不相交。
3 两直线交叉
两直线既不平行又不相交，称为两直线交叉。
如图所示： 交叉两直线的同面投影，有时可能平行，但决不会各面投影都平行；
交叉两直线的同面投影，有时可能相交，但各投影面的交点，决不会符合同一点的投影规律，即各组同面投影交点的连线不垂直于相应的投影轴。
判断方法：只要判定两直线既不平行，又不相交，则此两直线为交叉两直线。
